Oneindiger

In het blad New Scientist van juli 2007 (ik weet het, ik loop achter), las ik het artikel "From e to eternity". Het behandelt het vraagstuk, vroeger het dilemma, van de transcendente getallen. Transcendentaal in de zin van ongrijpbaar, onbegrijpelijk.

Neem de getallen 1, 2, 3, enzovoort. Een kind kan de was doen. Na de kleuterschool komen daar de breuken bij. Nog heel goed te begrijpen. Als je twee taarten hebt en drie eters, dan krijgt iedereen tweederde taart.

Er zijn getallen die niet als breuk te schrijven zijn. De wortel van twee is er zo eentje. Die wortel is ongeveer 1,4142135623730950488016887242097 (en zo verder). De lijst van cijfers achter de komma groeit met schijnbaar willekeurig gekozen cijfers door. Nooit wordt de reeks herhaald. Een oneindig complex getal dus, dat toch, door het met zichzelf te vermenigvuldigen, omgetoverd wordt tot het simpele "2".

Er zijn getallen die nog een stapje verder gaan, de transcendente getallen. Die zien er net als wortel 2 oneindig complex uit, maar maken het ons moeilijk omdat ze ook echt complex zijn. Er is geen mogelijkheid om deze getallen terug te brengen tot een geheel getal, welke berekening we er ook op loslaten. Optellen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen, machtsverheffen, niets van de trucendoos van Meneer Van Dale kan er chocola van maken.

Het ergste van alles is dat deze terroristen onder de getallen veruit in de meerderheid zijn. De reeks 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... is oneindig. Maar tussen bijvoorbeeld 0 en 1 bevinden zich oneindig veel breuken: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6... Het aantal breuken is dus veel oneindiger dan het aantal natuurlijke getallen. Maar ook het aantal breuken is nog geen stofje vergeleken bij het universum van transcendente getallen.

De beroemdste transcendente getallen zijn π (pi) en е (e). Onze computers weten geen weg met transcendente getallen. We rekenen er wel mee, maar dat zijn schamele benaderingen. Er is geen manier om ze volledig te bevatten.

In 2005 ontdekte Boris Zilber een nieuwe loot aan de tak van Meneer Van Dale. Ik snap het niet, maar het is een soort van transcendentaal machtsverheffen. Zilber noemt het pseudo-exponentiation. Deze term levert op dit moment nog maar 373 hits op in Google, dus het is nog een redelijk onontgonnen gebied. Met dit gereedschap zouden de criminelen onder de getallen eindelijk eens goed aangepakt kunnen worden.

Leuk, maar wat kopen we ervoor? Gelukkig gaan de uitgetrokken haren en beursgeslagen voorhoofden nog wat opleveren: met pseudo-exponentiation lijken de kwantumfysica en de Einstein's algemene relativiteitstheorie verenigd te kunnen gaan worden.

Een hele opluchting.

Link: New Scientist: e the mystery number
Boek: Everything and more, a compact history of infinity - David Foster Wallace