De Drie-eenheden
Er zijn oneindig veel regelmatige veelvlakken: het driehoek, het vierkant, het vijfvlak, zesvlak enz. t/m het oneindigvlak, dat verdacht veel op een cirkel lijkt.
Ik ontdekte ooit dat er maar 6 mogelijkheden zijn om 3 verschillende veelvlakken perfect op elkaar aan te laten sluiten. Volkomen nutteloze informatie of een of andere goddelijke vingerwijzing, zoja welke?
Ik ontdekte ooit dat er maar 6 mogelijkheden zijn om 3 verschillende veelvlakken perfect op elkaar aan te laten sluiten. Volkomen nutteloze informatie of een of andere goddelijke vingerwijzing, zoja welke?
gepost door Felix om 11:19 p.m.
2 Reacties:
Met enig eenvoudig rekenwerk kun je vaststellen dat er een vaste getalsmatige verhouding bestaat tussen de wat jij noemt "veel"-hoeken waartussen deze betrekking geldt.
Laten we ze voor het gemak even a, b en c noemen. Dus een a-hoek, een b-hoek en een c-hoek. Voor a, b en c geldt dat het natuurlijke getallen groter dan 2 zijn.
In een n-hoek is er op ieder hoekpunt sprake van een binnenhoek van 360/n.
Op zo’n hoekpunt waar ze veelhoeken “perfect” op elkaar aansluiten betekent die perfectheid dat de som van de hoeken van de drie veelhoeken aldaar precies 360 graden is. Elke veelhoek maakt op dat punt een hoek van (180 – 360/n). Er geldt dus de volgende betrekking tussen de veelhoeken:
(180 – 360/a) + (180 – 360/b) + (180 – 360/c) = 360.
Dat kunnen we vereenvoudigen tot: 360/a + 360/b + 360/c = 180. Of nog eenvoudiger: 1/a + 1/b + 1/c = 1/2. Daar kunnen we dus verder mee.
Mijn stelling is: kies een a en er zijn altijd minimaal één b en één c te vinden waarvoor de bovenstaande betrekking opgaat.
Kies bijvoorbeeld a = 3.
Zoek dan een b en c waarvoor geldt dat 1/b + 1/c = ½ - 1/3 = 1/6. Of, anders geschreven, waarvoor geldt dat b = 6c / (c-6). Zo vind je de volgende combinaties: (42,7), (24,8), (18,9), (15,10), (12,12). 5 stuks alleen al bij a=3!
De volgende keuze, a=4 leidt tot de betrekking b = 4c / (c-4). Hiermee vind je de volgende combinatie: (20,5), (8,8), (12,6). 3 stuks. Ik sta al op 8!
Kiezen we a=5, dan vinden we (via de betrekking b = 10c / (3c-10): (10,5) en (20,4). Die laatste hadden we al eerder gevonden, bij a=4.
En zo kan ik nog wel even doorgaan.
Ik heb dus nu al de volgende combinaties gevonden voor (a,b,c): (3,42,7), (3,24,8), (3,18,9), (3,15,10), (3,12,12), (4,20,5), (4,10,4), (5,10,5).
Je stelling klopt niet helemaal, vrees ik.
Mijn conclusie: niks toeval, niks goddelijke vingerwijzing. Gewoon euclidische meetkunde.
Dit is pas mooie wiskunde! Ik heb het ooit met domme kracht berekend, gewoon door alle combinaties langs te lopen. We hebben allebei gelijk: het ging mij om combinaties van 3 verschillende veelhoeken (regelmatige convexen of polygonen volgens de Wikepedicure). Maar het blijft natuurlijk gewone Euclidische meetkunde, hoewel de verleiding groot is om er meer in te zien, net zoals Kepler, die de driedimensionale veelvlakken (5 in getal) 'misbruikte' om er een meetkundig opgebouwd universum van te maken (later door zijn eigen bewegingswetten weerlegd).
Een reactie posten
<< Home